高等数学

基础预备知识

因式分解公式

和立方

$$\begin{align*} &(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{align*}$$

差立方

$$\begin{align*} &(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{align*}$$

立方和

$$\begin{align*} & a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \end{align*}$$

立方差

$$\begin{align*} & a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \end{align*}$$

n方差

$$\begin{align*} & a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}-a^{n-2}+...-ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{align*}$$

常用不等式

$$\begin{align*} &sinx\lt x\lt tanx \quad(x\lt \frac{\pi}{2}) \\ &\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \\ & \frac{1}{x+1}\lt ln(1+\frac{1}{x})\lt \frac{1}{x}\quad x\gt0\\ & 当x \to +\infty 有ln^ax\lt x^b\lt e^{cx}\quad (a\gt0\quad b\gt0 \quad c\gt 0) \end{align*}$$

球体体积和表面积公式

$$\begin{align*} &S=4\pi r\\ &V= \frac{4}{3}\pi r^3 \end{align*}$$

极限

特殊结论

$$\begin{align*} &\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{x^n+y^n}=max\{ x,y \}\quad(x,y\gt0) \end{align*}$$

常用泰勒展开式

$$\begin{align*} e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \end{align*}$$ $$\begin{align*} &ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \end{align*}$$ $$\begin{align*} &(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2) \end{align*}$$

重要极限

$$\begin{align*} &\lim\limits_{N\to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x=e \end{align*}$$

一元微分学

带拉格朗日余项的泰勒展开式

$$\begin{align*} &f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)(x-x_0)^n+\frac{f^{n+1}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{align*}$$

变限积分连续可导判定

变限积分形如

$$\begin{align*} &F(x)=\int^x_af(t)dt \\ &一、连续，f(x)连续或为第一类间断点\\ &二、可导,f(x)连续或为可去间断点\\ &\quad\quad(1)F'(x)=f(x) \quad f(x)连续\\ &\quad\quad(2)F'(x)=\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \quad f(x)可去间断点\\ &三、连续但不可导，f(x)为跳跃间断点 \end{align*}$$

一元积分学

常用不定积分

$$\begin{align*} & \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C\\ & \int csc^2xdx=-cotx+C\\ & \int secxtanxdx=secx+C\\ & \int cscxcotxdx=-cscx+C\\ & \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C \quad (a\gt0)\\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ & \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ & \int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\\ & \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C \end{align*}$$

定积分几何应用

绕x轴旋转体体积

$$\begin{align*} V_x=\pi\int_a^bf^2(x)dx \end{align*}$$

绕y轴旋转体体积

$$\begin{align*} V_y=2\pi\int_a^bxf(x)dx \end{align*}$$

曲线弧长

直角坐标

$$\begin{align*} s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx \end{align*}$$

参数方程

$$\begin{align*} s=\int_a^b\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt \end{align*}$$

极坐标

$$\begin{align*} s=\int_a^b\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta \end{align*}$$

旋转体侧面积

直角坐标

$$\begin{align*} s=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+y'^2}dx \end{align*}$$

参数方程

$$\begin{align*} s=2\pi\int_a^by(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt \end{align*}$$

极坐标

$$\begin{align*} s=2\pi\int_a^br(\theta)sin\theta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta \end{align*}$$

变限积分

变限积分必定连续。

变限积分可导性判定：

​ 1、若被积函数有跳跃间断点---->不可导

​ 2、若被积函数有可去间断点------>可导。

​ 3、若被积函数连续----->可导。

微分方程

二阶常系数线性齐次方程

一般形式

$$\begin{align*} y''+py'+qy=0 \end{align*}$$

通解的形式

$$\begin{align*} & 设r_1、r_2为特征方程的根\\ & (1)当r_1\neq r_2\\ &\quad y^*=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r^2x}\\ & (2)当r_1= r_2\\ &\quad y^*(C_1+C_2x)e^{r_1x}\\ & (3)当r_1= \alpha+i\beta\quad r_2=\alpha-i\beta\\ &\quad y^*=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) \end{align*}$$

二阶常系数线性非齐次方程

一般形式

$$\begin{align*} y''+py'+qy=f(x) \end{align*}$$

特解的形式

$$\begin{align*} &(1)若f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\quad(P_m(x)为m次多项式)\\ & \quad y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} \quad(Q_m(x)为m次多项式)\\ &\quad其中k是特征方程根的重数\\ &(2)若f(x)=x^ke^{\alpha x}[P_l(x)cos\beta x+p_n(x)sin\beta x]\\ & \quad y^*=x^ke^{\alpha x}[P^{(1)}_m(x)cos\beta x+p^{(2)}_m(x)sin\beta x]\\ &\quad m=max\left\{ l,n \right\}\\ &\quad当\alpha+i\beta不为特征方程的特征根时,取k=0\\ &\quad当\alpha+i\beta为特征方程的单特征根时，取k=1 \end{align*}$$

解的一般形式为 齐次方程的通解+非齐次方程的特解

线性代数

秩的相关结论

$$\begin{align*} &r(A)=r(A^T) \quad r(AA^T)=r(A)\\ &r(A+B)\leq R(A)+R(B)\\ &r(AB)\leq min(r(A),r(B))\\ &若A可逆，则r(AB)=r(A),r(BA)=r(B)\\ &若A是m*n矩阵，B是n*s矩阵，AB=O，r(A)+r(B)\leq n \end{align*}$$

特征值相关结论

如果一个矩阵A能确定r(A)=0,那么就有特征值tr,0,0,0......(n-1个)