题型归纳

向量的正交投影矩阵

$$\begin{aligned} 要解决这个问题，我们需要计算向量 (\alpha = (1,0,0)^T) 张成的子空间 (L) 的正交投影矩阵 (P_L)，\\ 以及将向量 (\mathbf{x} = (3,2,1)^T) 沿 (L) 投影的结果。\\ 正交投影矩阵 (P_L) 首先，我们需要计算正交投影矩阵 (P_L)。对于一个向量 (\mathbf{a})，它的正交投影矩阵可以通过以下公式计算：\\ [ P_L = \frac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T \mathbf{a}} ]\\ 在本题中，(\mathbf{a} = (1,0,0)^T)，所以：\\ [ \mathbf{a}^T \mathbf{a} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 ] \\ 因此，投影矩阵 (P_L) 为：\\ [ P_L = \mathbf{a}\mathbf{a}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]\\ 向量 (\mathbf{x}) 沿 (L) 的投影 接下来，我们需要计算向量(\mathbf{x} = (3,2,1)^T) 沿 (L) 的投影。投影可以通过以下公式计算：\\ [ \mathbf{p} = P_L \mathbf{x} ] 代入我们之前计算的 (P_L) 和 (\mathbf{x})： [ \mathbf{p} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ] 最终答案 - 正交投影矩阵 (P_L) 为：\\ [ P_L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ] - 向量 (\mathbf{x} = (3,2,1)^T) 沿 (L) 的投影为：\\ [ \mathbf{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ] 所以，答案是： [ P_L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{向量} \mathbf{x} = (3,2,1)^T \text{沿} L \text{的投影} \mathbf{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ] \end{aligned}$$

矩阵的正交投影矩阵

$$\begin{aligned} 已知 (R^4) 的子空间 (L = L(\alpha_1, \alpha_2))，\\ 其中 (\alpha_1 = (0, 1, 1, 0)^T)，(\alpha_2 = (0, 1, -1, 0)^T)，则正交投影矩阵 (P_L = \underline{\hspace{3cm}})，\\向量 (\mathbf{x} = (1, 2, -3, -4)^T) 沿 (L) 到 (L^\perp) 的投影 。 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 正交投影矩阵 P_L 的公式为： P_L = A(A^T A)^{-1} A^T \\ 1. 计算A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ 2. 计算 (A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \\ 3. 计算 A(A^T A)^{-1}A^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} =\\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ 所以，正交投影矩阵 P_L 为： P_L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

正交矩阵的二范数

$$\begin{aligned} 已知矩阵 ( A ) 是正交矩阵，那么我们需要计算其 2-范数（即矩阵的谱范数）。\\ 正交矩阵的性质\\ 正交矩阵 ( A ) 有以下重要性质：\\ 1. ( A ) 的列向量是标准正交基，即 ( A^T A = I )。\\ 2. ( A ) 的行向量也是标准正交基，即 ( A A^T = I )。\\ 3. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 ( A^{-1} = A^T )。\\ 矩阵的 2-范数\\ 矩阵的 2-范数定义为：\\ [ |A|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^T A)} ]\\ 其中，( \lambda_{\max}(A^T A) ) 是 ( A^T A ) 的最大特征值。\\ 对于正交矩阵 ( A )\\ 因为 ( A ) 是正交矩阵，所以 ( A^T A = I )，即单位矩阵。\\ 单位矩阵的特征值都是 1，因此：\\ [ \lambda_{\max}(A^T A) = 1 ]\\ 所以，正交矩阵 ( A ) 的 2-范数为：\\ [ |A|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^T A)} = \sqrt{1} = 1 ]\\ 结论\\ 因此，已知 ( A ) 是正交矩阵，则其 2-范数 ( |A|_2 = 1 )。 \end{aligned}$$

Kronecker积

$$\begin{aligned} & 在数学中，( A \otimes B ) 表示两个矩阵 ( A ) 和 ( B ) 的 Kronecker 积（Kronecker Product）。\\ &假设 ( A ) 是一个 ( m \times n ) 的矩阵，\\ &( B ) 是一个 ( p \times q ) 的矩阵，那么 ( A \otimes B ) 是一个 ( (mp) \times (nq) ) 的矩阵。\\ &具体来说，Kronecker 积的定义如下：\\ &如果 ( A = [a_{ij}] ) 是一个 ( m \times n ) 的矩阵，( B ) 是一个 ( p \times q ) 的矩阵，\\ &那么 ( A \otimes B ) 是一个 ( (mp) \times (nq) ) 的矩阵，其元素由以下方式计算：\\ &[ A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix} ]\\ &示例\\ &假设 ( A ) 和 ( B ) 分别为以下矩阵：\\ &[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} ]\\ &计算 ( A \otimes B )：\\ &[ A \otimes B = \begin{pmatrix} 1 \cdot B & 2 \cdot B \\ 3 \cdot B & 4 \cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} & 2 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ 3 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} & 4 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \end{pmatrix} ]\\ &继续计算每个块：\\ &[ 1 \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}, \quad 2 \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ 12 & 14 \end{pmatrix} ]\\ &[ 3 \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 15 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}, \quad 4 \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 24 & 28 \end{pmatrix} ]\\ &将这些块组合起来：\\ &[ A \otimes B = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ 12 & 14 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 15 \\ 18 & 21 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 24 & 28 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \end{pmatrix} ]\\ &所以，Kronecker 积 ( A \otimes B ) 是：\\ &[ A \otimes B = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \end{pmatrix} ] \end{aligned}$$

欧式空间对称变换

$$\begin{aligned} 题目要求我们计算向量 ( \mathbf{a}_1 ) 和 ( \mathbf{a}_2 ) 的内积，给定了对称变换 ( T ) 在欧氏空间 \\ ( V ) 上的性质：( T \mathbf{a}_1 = \mathbf{a}_1 ) 和 ( T \mathbf{a}_2 = -\mathbf{a}_2 )。\\ 首先，回顾对称变换的性质：一个线性变换 ( T ) 是对称的，当且仅当对于所有的向量 ( \mathbf{u}, \mathbf{v} ) \\ 都满足 ( \langle T \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T \mathbf{v} \rangle )。\\ 我们可以利用这个性质来计算 ( \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle )：\\ [ \langle T \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle = \langle \mathbf{a}_1, T \mathbf{a}_2 \rangle\\ ]\\ 根据题目中给出的条件 ( T \mathbf{a}_1 = \mathbf{a}_1 ) 和 ( T \mathbf{a}_2 = -\mathbf{a}_2 )，我们可\\ 以将上式展开：\\ [ \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle = \langle \mathbf{a}_1, -\mathbf{a}_2 \rangle ]\\ 因为内积具有线性性质，所以：\\ [ \langle \mathbf{a}_1, -\mathbf{a}_2 \rangle = -\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle ]\\ 因此，我们有：\\ [ \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle = -\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle ]\\ 将 ( \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle ) 移到等式同一边：\\ [ 2 \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle = 0 ] 所以：\\ [ \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle = 0 ] 因此，向量 ( \mathbf{a}_1 ) 和 ( \mathbf{a}_2 ) 的内积为 0。即： \\ [ (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2) = 0 ] \end{aligned}$$

欧式空间大题

$$\begin{aligned} (1) 求 ( V ) 的一个标准正交基\\ 首先，我们需要找到满足 ( x_1 - x_4 = 0 ) 和 ( x_2 - x_3 = 0 ) 的矩阵 ( X )。这些条件意味着：\\ [ x_1 = x_4, \quad x_2 = x_3 ]\\ 因此，矩阵 ( X ) 可以表示为：\\ [ X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{pmatrix} ]\\ 我们可以选择以下两个矩阵作为 ( V ) 的标准正交基：\\ [ E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ]\\ 验证它们是否正交：\\ [ (E_1, E_2) = \text{tr}(E_1^T E_2) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 0 ]\\ 它们是正交的。\\ 求它们的长度：\\ [ (E_1, E_1) = \text{tr}(E_1^T E_1) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 ]\\ [ (E_2, E_2) = \text{tr}(E_2^T E_2) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 ]\\ 因此，标准正交基为：\\ [ F_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} E_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} E_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ]\\ (2) 验证 ( T ) 是 ( V ) 的对称变换\\ 线性变换 ( T ) 定义为：\\ [ TX = X \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + X^T ]\\ 要验证 ( T ) 是对称变换，我们需要验证 ( \langle TX, Y \rangle = \langle X, TY \rangle ) \\ 对所有 ( X, Y \in V ) 成立。 [ \langle TX, Y \rangle = \text{tr}((TX)^T Y) = \text{tr}\left(\left(X \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + X^T\right)^T Y\right) ]\\ [ = \text{tr}\left(\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^T X^T + X\right) Y\right) = \text{tr}\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} X^T Y + X Y\right) ]\\ [ = \text{tr}\left(X^T \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} Y + X Y\right) ]\\ [ \langle X, TY \rangle = \text{tr}(X^T (TY)) = \text{tr}\left(X^T \left(Y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + Y^T\right)\right) ]\\ [ = \text{tr}\left(X^T Y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + X^T Y^T\right) ]\\ [ = \text{tr}\left(X^T Y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + (XY)^T\right) ]\\ [ = \text{tr}\left(X^T Y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + Y^T X\right) ]\\ 由于 ( \text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) )，所以 ( \langle TX, Y \rangle = \langle X, TY \rangle )，\\ 即 ( T ) 是对称变换。 (3) 求 ( V ) 的一个标准正交基，使得 ( T ) 在该基下的矩阵为对角矩阵\\ 我们已经知道 ( V ) 的标准正交基为 ( F_1 ) 和 ( F_2 )。我们需要将 ( T ) 作用在这些基向量上：\\ [ TF_1 = T \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) ]\\ [ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ]\\ [ TF_2 = T \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) ]\\ [ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ]\\ 发现 ( TF_1 ) 和 ( TF_2 ) 不是 ( F_1 ) 和 ( F_2 ) 的线性组合，因此需要重新找基向量。\\ 重新考虑基向量：\\ [ G_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad G_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} ]\\ 验证 ( G_1 ) 和 ( G_2 ) 是否正交：\\ [ (G_1, G_2) = \text{tr}(G_1^T G_2) = \text{tr}\left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \text{tr}\left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = 0 ]\\ ( G_1 ) 和 ( G_2 ) 是正交的。\\ 计算 ( T ) 在新基下的矩阵：\\ [ TG_1 = T \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right) ]\\ [ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \sqrt{2} G_1 ]\\ [ TG_2 = T \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right) ]\\ [ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 ]\\ 所以 ( T ) 在基 ( \{G_1, G_2\} ) 下的矩阵是对角矩阵：\\ [ \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ]\\ 因此，( V ) 的一个标准正交基是 ( \{G_1, G_2\} )。 \end{aligned}$$

jordan块的函数

$$\begin{aligned} P(j_0)= \begin{pmatrix} p(\lambda_0) & \frac{1}{1!}p'(\lambda_0) &\frac{1}{2!}p''(\lambda_0)& . & . &.&\frac{1}{(n-1)!}p^{(n-1)}(\lambda_0)\\ .&.&.&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.&\frac{1}{2!}p''(\lambda_0)\\ .&.&.&.&.&.&\frac{1}{1!}p'(\lambda_0)\\ .&.&.&.&.&.& p(\lambda_0) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

正交补空间

$$\begin{aligned} 如果 ( V ) 是 ( n ) 维欧氏空间 ( \mathbb{R}^n ) 的一个子空间，那么 ( V ) 的正交补空间 ( V^\perp ) 定义为：\\ V^\perp = { \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} = 0, \forall \mathbf{x} \in V } \ \end{aligned}\\$$

直和

$$\begin{aligned} V_{1}+V_{2} 是直和\\ V_{1}+V_{2} 中零元素的分解式唯一\\ V_{1}\cap V_{2}=0\\ \text{dim}(V_{1}+V_{2})=\text{dim}V_{1}+\text{dim}V_{2}\\ \end{aligned}$$